IES VELAZQUEZ - 2º BACHILLERATO NOCTURNO DIBUJO TÉCNICO "SOLUCIONARIO GEOMETRÍA PLANA"

La principal utilidad de la inversión es la de permitir la resolución de problemas de tangencias entre circunferencias, rectas y puntos.

La principal utilidad de la inversión es la de permitir la resolución de problemas de tangencias entre circunferencias, rectas y puntos. Las utilidades de las tangencias en la ingeniería son numerosas, desde el diseño de engranajes de máquinas, (por ejemplo, trasmitir el giro desde una cinta (recta) a otro engranaje (circunferencia) mediante otro engranaje (circunferencia) que tiene su posición limitada (punto), en el que hay que resolver el problema de tangentes a una recta y a una circunferencia que pasen por un punto), o ajustes de espacio en el diseño de tuberías, donde para aprovechar el máximo espacio posible, los elementos (circunferencias y rectas) van a ser tangentes entre sí.

La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es ella misma.

La inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí que pasa por él.

La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por él.

La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él.

Aplicaciones de la inversión a los problemas de tangencias

Mediante una transformación de inversión se pueden resolver la mayoría de losproblemas de tangencias entre circunferencias y rectas, que se complementan con los problemas de tangencias que ya se han visto en el tema de potencia y que se resuelven usando las propiedades del eje radical. Se verán a continuación los principales problemas que se pueden resolver mediante las propiedades de la inversión.

Circunferencias tangentes a recta y circunferencia que pasan por un punto.

Se trata de obtener las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia C y que pasen por P.

Si se toma P como centro de inversión, y una razón de inversión cualquiera (pero que facilite el dibujo de las inversas de la recta r y de la circunferencia C. Hemos trazado una c.p.d. circunferencia de puntos dobles de radio 50mm p. e.

La circunferencia C se invierte en otra circunferencia C’ que no pasa por P y la recta r se invierte en una circunferencia r’ que si que pasa por P . El problema genérico tiene cuatro soluciones como veremos, pues se pueden trazar 4 tangentes, dos interiores y dos exteriores, que se invertirán en 4 circunferencias, aunque el número de soluciones reales depende de la posición relativa de los elementos del sistema. Se verá primero el caso de trazar las rectas tangentes exteriores. Trazando las rectas tangentes a estas dos circunferencias, se obtienen los cuatro puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4.

Si se invierten estas rectas tangentes, se transforman en circunferencias que siguen siendo tangentes a C y a r debido a que la inversión es una transformación afín, y que pasan por P, como se ha visto anteriormente.

inversin_1

Figura 1

El caso de las tangentes interiores, se resuelve de manera análoga al de las tangentes exteriores pero obteniéndose las tangentes interiores (Fig. 2) y sus puntos de tangencia T´1, T´2, T´3 y T´4. e invirtiendo estas rectas tangentes para tener las circunferencias tangentes buscadas.

Existen dos casos “especiales” en los que el procedimiento para resolverlos es el mismo que el visto hasta ahora, pero que se explicarán dado su interés.

Estos dos casos son: Cuando el punto P se haya en la circunferencia C, y cuando el punto P está en la recta r.

En este caso, al tomar P como centro de inversión, la circunferencia C se transforma en una recta C’ por estar P sobre ella y r en una circunferencia r’ ¿Cómo se obtienen ahora las tangentes? Se puede asimilar C’ a una circunferencia de radio infinito, con lo que las rectas tangentes serán paralelas a C’ y la cortarán de forma tangente en el infinito.

Tendrán que ser además tangentes a la circunferencia r’, es decir serán las rectas a y b de la Figura 3.

Los inversos de los puntos de tangencia T1 y T2 con r’ (los inversos de los puntos de tangencia con C’ en el infinito se transforman en P), son T’1 y T’2 y se obtienen de la forma habitual.

En este caso tomando P como centro de inversión, r se invierte en si misma por estar P sobre ella y C se invierte en C’. La recta r’ puede considerarse como una circunferencia de radio infinito, con lo que las rectas tangentes a r’ y a C’ serán las rectas paralelas a r’, y tangentes a C’ en T1 y T2 y a r’ en el infinito. Figura 4.

El problema consiste en obtener las circunferencias tangentes a las dos dadas de centros C1 y C2 y además tangentes a la recta s (Fig. 5). En los problemas de tangencias explicados hasta ahora, siempre aparecía un punto, el cual se tomaba como centro de inversión y facilitaba la resolución del problema.

En este caso, no aparece ningún punto propiamente dicho, pero el problema puede transformarse para que aparezca y después deshacer la transformación. La transformación a utilizar ya ha sido empleada en problemas anteriores y consiste en restar el radio de la circunferencia pequeña a ella misma con lo cual se transforma en su centro C3, y sumar y restar dicho radio a los demás elementos del sistema.

La recta r se transformará en una recta paralela r’ a sí misma, que puede estar por arriba o por abajo, y la circunferencia de centro C1 se transformará en otra circunferencia C’1 con su mismo centro y radio R + r o R – r.

Por tanto, para obtener todas las soluciones del problema original, se ha de transformar este en cuatro problemas, en función de la posición de la recta r’ y de la circunferencia C’.

Este problema tiene cuatro soluciones, inversas de las tangentes a las circunferencias inversas de la recta r’ y de la circunferencia concéntrica.

La primera transformación transforma la circunferencia C2 en su centro como pasará en todas las transformaciones y la recta r en una paralela r’ a una distancia del radio de C2 hacia abajo.

La circunferencia C1 se transforma en una circunferencia de radio R – r, habiendo que resolver ahora el problema de obtener las circunferencias tangentes a C´1 y r´ 1 que pasen por C2 y después sumar el mismo radio para deshacer la transformación. Figura 5.

La segunda transformación mantiene respecto a la anterior, la posición de la recta r’ hacia abajo, la circunferencia C2 se transforma en su centro (Fig. 6), pero la circunferencia de C1 se transforma ahora en una circunferencia de radio R + r habiendo que resolver ahora el problema de obtener las circunferencias tangentes a C’ y r’ que pasen por C2 y después sumar r para deshacer la transformación.

La tercera transformación cambia la posición de la recta r’, ahora hacia arriba y a la distancia del radio de la circunferencia C2, esta se transforma en su centro C2 (Fig. 7), la circunferencia de centro C1 se transforma ahora en unacircunferencia de radio R – r habiendo que resolver ahora el problema de obtener las circunferencias tangentes a C’ y r’ que pasen por C2 y después sumar r para deshacer la transformación.

La última transformación mantiene respecto a la anterior, la posición de la recta r’ hacia arriba, La circunferencia C2 se transforma en su centro. Pero la circunferencia C1 se transforma ahora en una circunferencia de radio R + r habiendo que resolver ahora el problema de obtener las circunferencias tangentes a C’ y r’ que pasen por C2 y después sumar r para deshacer la transformación. Esta cuarta solución se presenta en la figura 8.

Tomando como centro de inversión el punto P y una razón de inversión cualquiera, las circunferencias C1 y C2 se invierten en otras dos circunferencias C1’ y C2’, y el problema se transforma en dibujar las rectas tangentes a estas circunferencias transformadas.

De nuevo, el problema genérico tiene cuatro soluciones pues son cuatros las rectas tangentes que se pueden trazar entre las dos circunferencias transformadas.

El problema consiste en dibujar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de centros C1, C2 y C3. El problema hay que trasformarlo para poder resolverlo mediante inversión.

Esta transformación es la misma que la del punto vista anterior y consiste en sumar y restar el radio de la circunferencia menor C3. r.

A la circunferencia de centro O3 siempre se le resta con lo cual se transforma en un punto, su centro O3, que será tomado como centro de inversión.

Las otras dos circunferencias se transformarán en circunferencias del mismo centro que las originales y radios C1 ± r y C2 ± r, según corresponda siendo r el radio de la pequeña.

El problema se ha transformado por tanto en cuatro problemas cuyo enunciado genérico es el de trazar las circunferencias tangentes a las de centro C1 y C2 y de radios C1 ± r y C2 ± r, según corresponda siendo r el radio de la pequeña y que pasen por el punto O3.

Cada uno de estos cuatro problemas tiene 4 soluciones tal como se estudió anteriormente. Pero habrá que deshacer la Transformación de sumar o restar el radio que se haya hecho, y para cada uno de los cuatro problemas, sólo dos de sus cuatro soluciones son solución del problema original que se quiere resolver.

Para la primera solución, y como en las otras tres, la circunferencia de centro C3 y radio r se transforma en su centro. Las otras dos se transforman en este caso sumando el radio r a la dos, en dos circunferencias C1’ y C2’ de radios C1 + r y C2 + r, habiendo ahora que resolver el problema de trazar las

Para la segunda solución la circunferencia de centro C3 y radio r se transforma en su centro como en todas. Las otras dos se transforman en este caso restando el radio r a la dos, en dos circunferencias C1’ y C2’ de radios C1 – r y C2 – r, habiendo ahora que resolver el problema de trazar las circunferencias tangentes a estas dos, y que pasen por C3. Figura 12 .
Después se deshará la transformación de restar el radio

Para la tercera solución la circunferencia de centro C3 y radio r se transforma en su centro. Las otras dos se transforman en este caso restando el radio r a la decentro C1 y sumándolo a la de centro C2, en dos circunferencias C1’ y C2’ de radios

R1 – r y R2 + r, habiendo ahora que trazar las circunferencias tangentes a estas dos, y que pasen por C3. Figura 13.

Para la cuarta y última solución la circunferencia de centro C3 y radio r se transforma en su centro como en todas. Las otras dos se transforman en este caso sumando el radio r a la de centro C1 y restándolo a la de centro C2, en dos circunferencias C1’ y C2’ de radios R1 + r y R2 – r, habiendo ahora que resolver el problema de trazar las circunferencias tangentes a estas dos, y que pasen por C3 .